Question

18．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足$∠AFB=\frac{π}{3}$，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则$\frac{{|{MN}|}}{{|{AB}|}}$的最大值是1．

Answer 1

分析 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²=$\frac{1}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{1}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤1，
即 $\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．