Question

7．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1-P$（\overline{A}）$．
（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．利用“超几何分布列”即可得出．

解答 解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-$\frac{{∁}_{5}^{4}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{13}{14}$．
（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．
P（X=5a）=$\frac{{∁}_{3}^{3}{∁}_{5}^{1}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{5}{70}$=$\frac{1}{14}$，P（X=6a）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{30}{70}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=7a）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{30}{70}$=$\frac{3}{7}$，P（X=8a）=$\frac{{∁}_{5}^{4}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{5}{70}$=$\frac{1}{14}$．

X	5a	6a	7a	8a
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

E（X）=5a×$\frac{1}{14}$+6a×$\frac{3}{7}$+7a×$\frac{3}{7}$+8a×$\frac{1}{14}$=$\frac{13}{2}$a．

点评 本题考查了“超几何分布列”的概率计算公式数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．