Question

如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：
①y=-x³+1，②y=3x-2sinx-2cosx③y=

ln|x|，x≠0 0，x=0

④y=

x2+4x，x≥0 -x2+x，x＜0

．
以上函数为“Z函数”的序号为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①函数y=-x³+1在定义域上单调递减．不满足条件．
②y=3x-2sinx-2cosx，y′=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cox）=3-2

2

sin（x-

π

4

）＞0，函数单调递增，满足条件．
③f（x）=y=

ln|x|，x≠0 0，x=0

，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
④y=

x2+4x，x≥0 -x2+x，x＜0

，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
故答案为：②

点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．