Question

【题目】设F为抛物线的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．

(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；

(II)当OA⊥OB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）直线AB经过定点M（4,0）

【解析】分析：（I）由题意得到直线AB的方程，代入抛物线方程后，结合根据系数的关系和弦长公式可得所求．（II）设直线AB的方程为，代入抛物线方程消去x后得到二次方程，由OA⊥OB及根与系数的关系可得，从而证得直线过定点．

详解：（I）由题意得F（1,0），则直线AB的方程为．

由，消去y整理得．

其中△=5>0．

设点，

则，

所以．

（II）方法一：因为A，B是抛物线C上的两点，

所以设，

由OA⊥OB得，

所以．

所以

因为，

所以∥，

即直线AB经过定点M（4,0）．

方法二：设直线AB的方程为，

由消去x整理得，

∵直线AB与抛物线交于两点，

∴．

设，

则．

∵OA⊥OB，

∴

，

∴，

解得，

∴直线AB的方程为，

∴直线AB经过定点M（4,0）．