Question

已知函数f（x）=（1+x）ln（1+x），g（x）=kx²+x，
（1）讨论函数f（x）单调区间与极值；
（2）若当x≥0时，f（x）≤g（x）恒成立，求k的最小值；
（3）若数列{

1

n

}的前n项和为S_n，求证：S_n≥ln（n+1）+

n

2(n+1)

．

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用导数性质能求出函数f（x）单调区间与极值．
（2）令ϕ（x）=f（x）-g（x）=（1+x）ln（1+x）-kx²-x，则ϕ′（x）=ln（1+x）-2kx，令h（x）=ln（1+x）-2kx，则h′（x）=

1

1+x

-2k，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出k的取值范围．
（3）取k=

1

2

，得：（1+x）ln（1+x）≤

1

2

x²+x，从而得ln（1+x）≤

1

2

（（1+x）-

1

1+x

)；取x=

1

k

 得：ln

k+1

k

≤

2k+1

2k(k+1)

=

1

2

（

1

k

+

1

k+1

），由此能证明S_n≥ln（n+1）+

n

2(n+1)

．

解答： （本题满分12分）
（1）解：∵f（x）=（1+x）ln（1+x），
∴f′（x）=ln（1+x）+1，令f′（x）=0，得：x=

1

e

-1，
∴当x∈（-1，

1

e

-1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，

1

e

-1）上单调递减，
同理，（x）在（

1

e

-1，+∞）上单调递增，
∴当x=

1

e

-1时，f_极小值=-

1

e

．…（4分）
（2）解：令ϕ（x）=f（x）-g（x）=（1+x）ln（1+x）-kx²-x
则ϕ′（x）=ln（1+x）-2kx，
令h（x）=ln（1+x）-2kx，则h′（x）=

1

1+x

-2k，
∵x≥0，∴

1

1+x

∈（0，1]
①当k≥

1

2

时，2k≥1，h′（x）=

1

1+x

-2k≤0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴h（x）≤h（0）=0，即ϕ′（x）≤0，
∴ϕ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴ϕ（x）≤ϕ（0）=0，∴f（x）≤g（x），∴当k≥

1

2

时满足题意；
②当k≤0时，h′（x）=

1

1+x

-2k＞0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=0，即ϕ′（x）≥0，∴ϕ（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴ϕ（x）≥ϕ（0）=0，∴f（x）≥g（x），∴当k≤0时不合题意；
③当0＜k＜

1

2

时，由h′（x）=

1

1+x

-2k=0得：x=

1-2k

2k

＞0，
当x∈（0，

1-2k

2k

）时，h（x）单调递增，
∴h（x）＞0   即ϕ′（x）＞0，
∴ϕ（x）在（0，

1-2k

2k

）上单调递增，∴ϕ（x）＞0，
即f（x）＞g（x）∴不合题意
综上，k的取值范围是[

1

2

，+∞），
∴k的最小值是

1

2

．…（8分）
（3）证明：由（2）知，取k=

1

2

，得：（1+x）ln（1+x）≤

1

2

x²+x，
变形得：ln（1+x）≤

x2+2x

2(1+x)

=

(1+x)2-1

2(1+x)

=

1

2

（（1+x）-

1

1+x

)
取x=

1

k

 得：ln

k+1

k

≤

2k+1

2k(k+1)

=

1

2

（

1

k

+

1

k+1

），
∴ln

2

1

≤

1

2

（

1

1

+

1

2

）
ln

3

2

≤

1

2

（

1

2

+

1

3

）
ln

4

3

≤

1

2

（

1

3

+

1

4

）
…
ln

n+1

n

≤

1

2

（

1

n

+

1

n+1

）
以上各式相加得：ln

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

≤

1

2

（

1

1

+

1

2

+

1

2

+

1

3

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

+

1

n+1

）
ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

≤

1

2

（2（

1

1

+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

）+

1

n+1

-1）
ln（n+1）≤

1

2

（2S_n-

n

n+1

）=S_n-

n

2(n+1)

∴S_n≥ln（n+1）+

n

2(n+1)

．…（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的极值的求法，考查实数的最小值的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．