Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1和点A（-1，0），B（1，0），点P在⊙C上运动．求PA²+PB²的最大（小）值及相应的P点坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,数形结合

分析：设P点坐标为（x₀，y₀），计算PA²+PB²的值，利用Z=x₀²+y₀²的意义即圆上的点到原点的距离的平方，
数形结合，求PA²+PB²的最大值和最小值，并求相应的点P的坐标．

解答： 解：如图，设P点坐标为（x₀，y₀），
则PA²+PB²=（x₀+1）² +y₀² +（x₀-1）² +y₀²=2（x₀²+y₀²）+2
令Z=x₀²+y₀²，显然Z表示圆C上一点到原点的距离的平方，
当Z最大（小）时，PA²+PB²最大（小），设直线OC交圆C于两点P₁，P₂，
当P与P₁重合时，Z最小，其值为（|OC|-1）²=16
当P与P₂重合时，Z最大，其值为（|OC|+1）²=36
∴PA²+PB²的最大值为74，最小值为34．
直线OC的方程为y=

4

3

x，解方程组

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=1

台得P1(

12

5

，

16

5

)，P2(

18

5

，

24

5

)  即相应的点P的坐标．

点评：本题考查直线、点与圆的位置关系的应用，注意式子Z=x₀²+y₀²表示的意义，体现数形结合的数学思想，属于中档题．