Question

已知S_n=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，若S_n=

9

10

，则n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：通过裂项法求出S_n，利用S_n=

9

10

，求解n即可．

解答： 解：∵

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．
∵S_n=

9

10

，
∴1-

1

n+1

=

9

10

，
解得n=9．
故答案为：9．

点评：本题考查数列求和裂项法的应用，属于基本知识的考查．