Question

已知F₁，F₂为椭圆E的左右焦点，点P（1，

3

2

）为其上一点，且有|PF₁|+|PF₂|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过F₂与l₁平行的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S_ABCD的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知|PF₁|+|PF₂|=4，

1

4

+

9

4b2

=1，由此能求出椭圆E的标准方程．
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S_△ABCD=4S_△OAB，设直线AB的方程为x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，由此利用弦长公式能求出S_△BCD的最大值．

解答： 解：（I）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
由已知|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，∴a=2，…（2分）
又点P（1，

3

2

）在椭圆上，∴

1

4

+

9

4b2

=1，∴b=

3

，
椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，
∴S_?ABCD=4S_△OAB，
设直线AB的方程为x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，…（6分）
S_△OAB=S△OF1A+SOF1B=

1

2

|OF₁||y₁-y₂|=

1

2

|y1-y2|
=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=6

m2+1 (3m2+4)2

，…（9分）
令m²+1=t，则t≥1，S_△OAB=6

t (3t+1)2

=6

1 9t+ 1 t +6

，…（11分）
又∵g（t）=9t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增
∴g（t）≥g（1）=10，∴S_△OAB的最大值为

3

2

．
∴S_?ABCD的最大值为6．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．