Question

在平面直角坐标系中，已知向量

a

=（x，y-

2

），

b

=（kx，y+

2

）（k∈R），

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为T．
（1）求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当k=

1

2

时，已知点B（0，-

2

），是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点落在轨迹T上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接利用向量的数量积化简即可求轨迹T的方程，然后通过k 的取值说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当k=

1

2

时，求出方程，然后求出点B（0，-

2

），点B关于直线l的对称点的坐标，代入方程，判断是否落在轨迹T上，即可求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

∴

a

•b

=(x，y-

2

)(kx，y+

2

)=0得kx²+y²-2=0即kx²+y²=2-------------（2分）
当k=0时，方程表示两条与x轴平行的直线；----------------------------（3分）
当k=1时，方程表示以原点为圆心，以

2

为半径的圆；-----------------------（4分）
当k＞0且k≠1时，方程表示椭圆；-----------------------------------------（5分）
当k＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．---------------------------------（6分）
（2）当k=

1

2

时，动点M 的轨迹T的方程为

x2

4

+

y2

2

=1---------------------------（7分）
设满足条件的直线l存在，点B关于直线l的对称点为B'（x₀，y₀），则由轴对称的性质可得：

y0+ 2

x0

=-1，

y0- 2

2

=

x0

2

+m，
解得：x0=-

2

-m，y0=m，-------------------------------（10分）
∵点B'（x₀，y₀）在椭圆上，∴

(- 2 -m)2

4

+

m2

2

=1，整理得3m2+2

2

m-2=0
解得m=

2

3

或m=-

2

------------------------------------（12分）
∴直线l的方程为y=x+

2

3

或y=x-

2

-------------------（13分）
经检验y=x+

2

3

和y=x-

2

都符合题设
∴满足条件的直线l存在，其方程为y=x+

2

3

或y=x-

2

．-----------------（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，同时考查了转化思想．