题目内容
如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ 的函数．
（2）求当θ 为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）
【答案】分析：（Ⅰ）由题意可知，OM⊥AD，设OM于BC的交点为F，可得
，化简S=AB•BC的解析式为
，
．
（Ⅱ）根据
可得当 
时，S有最大值．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知，点M为PQ的中点，所以OM⊥AD．
设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ，
．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R2（2sinθcosθ-2sin2θ）=R2（sin2θ-1+cos2θ）=
，
．
（Ⅱ）因为
，则
．
所以当
，即
时，S有最大值.
．
故当
时，矩形ABCD的面积S有最大值
．
点评：本题主要考查二倍角公式的应用，求三角函数的最值，属于中档题．
，化简S=AB•BC的解析式为
，
．（Ⅱ）根据
可得当 
时，S有最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，点M为PQ的中点，所以OM⊥AD．
设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ，
．所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R2（2sinθcosθ-2sin2θ）=R2（sin2θ-1+cos2θ）=
，
．（Ⅱ）因为
，则
．所以当
，即
时，S有最大值.
．故当
时，矩形ABCD的面积S有最大值
．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，求三角函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
探究与巩固河南科学技术出版社系列答案
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如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，当点B位于何处时，图书馆的占地面积最大，最大面积是多少？
为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径
，
，
与
之间的夹角为
.
的面积
表示成