Question

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
（II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m²）

Answer 1

分析：（Ⅰ）要建立矩形面积模型，则只须表示出AB，BC即可，易知点M为

PQ

的中点，则有OM⊥AD．设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，.AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．再用面积公式求解．
（Ⅱ）由（I）由θ∈(0，

π

4

)，确定2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．再利用正弦函数最值求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，点M为

PQ

的中点，所以OM⊥AD．
设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ.AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）
=R²（sin2θ-1+cos2θ）=

2

R2sin(2θ+

π

4

)-R2，θ∈(0，

π

4

)．
（Ⅱ）因为θ∈(0，

π

4

)，则2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．
所以当2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

时，S有最大值．
Smax=(

2

-1)R2=(

2

-1)×452=0.414×2025=838.35．
故当θ=

π

8

时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m²．

点评：本题主要考查应用题建模和解模问题，关键是明确关键词，关键句，建立模型的同时，也要明确条件．