Question

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ 的函数．
（2）求当θ 为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知，OM⊥AD，设OM于BC的交点为F，可得AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ，化简S=AB•BC的解析式为

2

R2sin(2θ+

π

4

)-R2，θ∈(0，

π

4

)．
（Ⅱ）根据2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)可得当 2θ+

π

4

=

π

2

时，S有最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，点M为PQ的中点，所以OM⊥AD．
设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ，AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）=R²（sin2θ-1+cos2θ）=

2

R2sin(2θ+

π

4

)-R2，θ∈(0，

π

4

)．
（Ⅱ）因为θ∈(0，

π

4

)，则2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．
所以当 2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

  时，S有最大值.Smax=(

2

-1)R2．
故当θ=

π

8

 时，矩形ABCD的面积S有最大值(

2

-1)R2．

点评：本题主要考查二倍角公式的应用，求三角函数的最值，属于中档题．