Question

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，当点B位于何处时，图书馆的占地面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：设OB与OM之间的夹角为θ，利用S=AB•BC，求出面积，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求得结论．

解答：解：设OB与OM之间的夹角为θ，由题意可知，点M为PQ弧的中点，所以OM⊥AD．
设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ．…..（4分）
∴AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ    …..（6分）
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）=

2

R²sin（2θ+

π

4

）-R²，θ∈(0，

π

4

)，
∵θ∈(0，

π

4

)，∴2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)                            …..（11分）
所以当2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

 时，S有最大值．
即Smax=(

2

-1)R2．…..（14分）
答：当∠BOP=

3π

8

时，图书馆的占地面积最大，最大值为(

2

-1)R2．…..（15分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．