Question

15．给定a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N*），定义乘积a₁•a₂…a_k为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2015]内的所有理想数的和为2026．

Answer 1

分析 a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），由a₁•a₂…a_k为整数得log₂3•log₃4…log_k（k+1）log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，k=2^m-2；2¹¹=2048＞2015，即可得出区间[1，2015]内所有“期盼数”为：2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴由a₁•a₂…a_k为整数得log₂3•log₃4…log_k（k+1）log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，
∴k=2^m-2；
∵2¹¹=2048＞2015，
∴区间[1，2015]内所有“期盼数”为：2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=$\frac{4（{2}^{9}-1）}{2-1}$-18=2026．
故答案为：2026

点评 本题考查了新定义、等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．