Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-

1

2

n2+4n，
（Ⅰ）求通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=9-2a_n，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意得，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，当n=1时a₁=S₁，求出a_n；
（2）由（1）和题意求出b_n，代入

1

bnbn+1

化简并裂项，利用裂项相消法求出前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n≥2时，S_n-1=-

1

2

（n-1）²+4（n-1）=-

1

2

n²+5aaaAn-

9

2

，
则a_n=S_n-S_n-1=（-

1

2

n2+4n）-（-

1

2

n²+5n-

9

2

）=-n+

9

2

，
当n=1时，a₁=S₁=-

1

2

+4=

7

2

，满足上式．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=-n+

9

2

；
（2）由（1）得，b_n=9-2a_n=2n，
所以

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
则T_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4n+4

．

点评：本题考查了数列a_n与S_n的关系式，以及数列求和的方法：裂项相消法，是常考的题型．