Question

13．已知幂函数f（x）的图象经过点（-2，$\frac{1}{4}$）：
（1）求函数f（x）的解析式，并画出图象；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）设出幂函数f（x）的解析式，利用待定系数法求出解析式；
（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

解答 解：（1）设幂函数f（x）=x^a，图象经过点（-2，$\frac{1}{4}$），
则有$\frac{1}{4}={（-2）^a}$，
即（-2）^-2=（-2）^a，解得a=-2；
∴$f（x）={x^{-2}}=\frac{1}{x^2}$；
（2）证明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_2^2x_1^2}=\frac{{（{x_2}+{x_1}）（{x_2}-{x_1}）}}{{{{（{x_1}{x_2}）}^2}}}$；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式以及利用定义证明函数的单调性问题，是基础题目．