Question

4．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，若AB=3，AC=2，AA₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，∠BAC=60°，则它的这个外接球的表面积为12π．

Answer 1

分析 画出球的内接直三棱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半径，然后可求球的表面积．

解答 解：直三棱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，
若AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
则BC=$\sqrt{9+4-2×3×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，
则球的半径为OA，
由题意，AP=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，OP=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴OA=$\sqrt{\frac{7}{3}+\frac{6}{9}}$=$\sqrt{3}$，
所以球的表面积为：4πR²=12π．
故答案为：12π．

点评 本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是中档题．