设向量$\overrightarrow{a}$=(a1.a2).$\overrightarrow{b}$=(b1.b2).定义一种向量运算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=(a1b1.a2b2).已知向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=.点P在y=sinx的图象上运动．点Q图象上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．设向量$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），定义一种向量运算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=（a₁b₁，a₂b₂），已知向量$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），点P（x′，y′）在y=sinx的图象上运动．点Q（x，y）是函数y=f（x）图象上的动点，且满足$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的值域是（　　）

A．

$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$

B．

$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$

C．

[-1，1]

D．

（-1，1）

分析推导出$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n=（2x′+$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}sin{x}^{'}$），从而得y=$\frac{1}{2}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$，由此能求出y=f（x）的值域．

解答解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），定义一种向量运算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=（a₁b₁，a₂b₂），
向量$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），点P（x′，y′）在y=sinx的图象上运动．
点Q（x，y）是函数y=f（x）图象上的动点，且满足$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n（其中O为坐标原点），
∴$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n=（2x′，$\frac{1}{2}sin{x}^{'}$）+（$\frac{π}{3}$，0）
=（2x′+$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}sin{x}^{'}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{'}+\frac{π}{3}}\\{y=\frac{1}{2}sin{x}^{'}}\end{array}\right.$，消去x′，得y=$\frac{1}{2}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$，
∴y=f（x）的值域是[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．
故选：A．