Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．

（Ⅰ）求直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值；

（Ⅱ）在线段BC₁上确定一点D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AA₁C₁C为正方形，∴AA₁⊥AC．

∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，

∴AA₁⊥平面ABC，

∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．

由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0)，A₁(0，0，4)，B₁(0，3，4)，C₁(4，0，4)，

∴＝(0，3，－4)，＝(4，0，0)，＝(4，－3，0)．

设平面A₁BC₁的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

令z＝3，则x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．

设直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角为θ，则

sinθ＝|cos＜，n＞|＝＝＝．

故直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为．

（Ⅱ）设D(x，y，z)是线段BC₁上一点，且＝λ（λ∈[0，1]），

∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，

∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，

∴＝(4λ，3－3λ，4λ)．

又＝(0，3，－4)，

由·＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，

即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．

故在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B．

此时＝λ＝．