Question

20．已知关于x的不等式ax²+5x+c＞0的解集为{x|$\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{2}$}
（1）求a，c的值；
（2）解不关于x的不等式ax²+（ac+2）x+2c≥0．

Answer 1

分析 （1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；
（2）由a、c的值代入化简不等式ax²+（ac+2）x+2c≥0，求出解集即可．

解答 解：（1）由题意知，不等式对应的方程ax²+5x+c=0的两个实数根为$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{2}$，
由根与系数的关系，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{a}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得a=-6，c=-1；
（2）由a=-6，c=-1知不等式ax²+（ac+2）x+2c≥0可化为
-6x²+8x-2≥0，
即3x²-4x+1≤0，
解得$\frac{1}{3}$≤x≤1，
所以不等式的解集为[$\frac{1}{3}$，1]．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，是基础题目．