Question

10．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且当f（k）≥2^k（k≥2，k∈N^*）时，总有f（k-1）≥2^k-1成立，则下列命题为真命题的是（　　）

• A． 若f（1）≥2，则f（n）≥2ⁿ
• B． 若f（4）＜16，则f（n）＜2ⁿ
• C． 若f（4）≥16，则当n≥4时，f（n）≥2ⁿ
• D． 若f（1）＜2，则f（n）＜2ⁿ

Answer 1

分析 根据条件的递推关系，利用反证法进行判断即可．

解答 解：若f（n）＜2ⁿ 假设f（n）＜2ⁿ，不成立，则f（n）≥2ⁿ，
根据递推条件得f（n-1）≥2^n-1成立，…f（2）≥2²，f（1）≥2成立，与f（1）＜2，矛盾，
故假设不成立，
故若f（1）＜2，则f（n）＜2ⁿ成立，即D是真命题，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，根据条件的递推关系结合反证法是解决本题的关键．