Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{n（n+1）{2^n}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）递推式两边同时加1即可得出结论；
（2）根据（1）的结论求出a_n+1，从而得出a_n；
（3）使用裂项法求和，判定T_n的单调性得出范围．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列．
（2）解：由（1）及已知{a_n+1}是等比数列，公比q=2，首项为a₁+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴${a_n}={2^n}-1$．
（3）解：${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{n（n+1）{2^n}}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$＜1，
设f（n）=1-$\frac{1}{n+1}$，则f（n）是增函数，
∴当n=1时，f（n）取得最小值f（1）=$\frac{1}{2}$．
∴T_n的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了等比数列的判断，等比数列的求和公式，裂项法求和，属于中档题．