Question

2．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得弦长为4，则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． 9
• B． 4
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出圆心和半径，由圆心到直线的距离等于零可得直线过圆心，即a+b=1；再利用基本不等式求得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：圆x²+y²+2x-4y+1=0，即圆（x+1）²+（y-2）² =4，
它表示以（-1，2）为圆心、半径等于2的圆；
设弦心距为d，由题意可得 2²+d²=4，求得d=0，
可得直线经过圆心，故有-2a-2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$ ）（a+b）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$=9，
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$时取等号，∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是9．
故选：A．

点评 本题考查了直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式和基本不等式的应用问题，是中档题．