Question

19．已知点（a，b）在圆（x-1）²+（y-1）²=1上，则ab的最大值是$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角换元，结合配方法，即可得出结论．

解答 解：设a=1+cosα，b=1+sinα，
则ab=（1+cosα）（1+sinα）=1+（cosα+sinα）+cosαsinα
令t=cosα+sinα（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$），则ab=1+t+$\frac{1}{2}$（t²-1）=$\frac{1}{2}$（t+1）²，
∴t=$\sqrt{2}$时，ab的最大值是$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查点与圆的位置关系，考查换元法的运用，属于中档题．