Question

5．假设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有下面四个条件：
①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF
其中能成为增加条件的是①③（把你认为正确的条件序号都填上）

Answer 1

分析 要增加一个条件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥β，则平面ABDC与EF垂直，需要加一个条件能够使得线与面垂直，把几个选项逐个分析，得到结论．

解答 解：①∵AB⊥α，AC⊥α
∴AB∥AC
∴A，B，C三点共线；
∴A，C，B，D共面；
因为AC⊥α，且EF?α，所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α，所以EF⊥AB．
因为AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD?平面ACBD，所以BD⊥EF．
所以①可以成为增加的条件．
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF与CD在β内的射影垂直，
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC，
因为AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成为增加的条件．
④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．
所以④不可以成为增加的条件．
故答案为：①③．

点评 本题考查空间中直线与平面的位置关系，解题的关键是利用线面垂直的判定和性质来说清楚题目的对错，属于中档题．