Question

13．（Ⅰ）求数列{n+3^n-1}前n项和S_n；    
（Ⅱ）求数列{n×3^n-1}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知，数列{n+3^n-1}是由等比数列与等差数列和的形式，根据等比数列和等差数列前n项和公式，即可求得S_n；    
（Ⅱ）数列{n×3^n-1}是由等比数列和等差数列的乘积组成的数列，采用“错位相减法”即可求得T_n．

解答 解：（1）由S_n=1+2+3+…+n+1+3+3²+3³+…+3^n-1
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{3}^{n-1}•3}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n}+{n}^{2}+n-1}{2}$，
∴S_n=$\frac{{3}^{n}+{n}^{2}+n-1}{2}$；
（2）T_n=1×1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1，
∴3T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，
两式相减：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ，
=$\frac{1-{3}^{n-1}•3}{1-3}$-n×3ⁿ，
=$\frac{（2n-1）•{3}^{2}+1}{4}$．
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{2}+1}{4}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列前n项和公式，考查“错位相减法”求数列的前n项方法，考查计算能力，属于中档题．