Question

8．已知圆C：x²+y²=1与直线l：$\sqrt{3}$x-y+m=0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若|AB|=$\sqrt{3}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）直线与圆的方程联立，利用判别式大于0，即可求实数m的取值范围；
（2）求出圆心C（0，0）到直线$l：\sqrt{3}x-y+m=0$的距离，利用|AB|=$\sqrt{3}$，求实数m的值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\ \sqrt{3}x-y+m=0\end{array}\right.$消去y得$4{x^2}+2\sqrt{3}mx+{m^2}-1=0$，
由已知得，${（2\sqrt{3}m）^2}-16（{m^2}-1）＞0$
得m²-4＜0，得实数m的取值范围是（-2，2）；
（2）因为圆心C（0，0）到直线$l：\sqrt{3}x-y+m=0$的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{|m|}{2}$，
所以$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}=\sqrt{4-{m^2}}$
由已知得$\sqrt{4-{m^2}}=\sqrt{3}$，解得m=±1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．