Question

【题目】已知数列满足，，.

（1）若，试问是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（2）在（1）的条件下，求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）存在，使得数列是首项为1，公比为的等比数列.（2）

【解析】

（1）由题得，由数列是等比数列得到，即得；（2）由题得，令，得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，求出数列的通项再求出数列的通项公式.

（1）由，得，

因为，所以

要使数列是等比数列，需使对任意恒成立，

所以，解得.

此时，且首项

所以存在，使得数列是首项为1，公比为的等比数列.

（2）由（1）知，，

所以.

令，得，

即，

所以.

因为，所以，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

即，

所以.

即.