题目内容

已知函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．

解：函数的定义域为（0，+∞）．f′（x）=ae^axlnx+e^ax× $\text{[math]}$ =e^ax（alnx+ $\text{[math]}$ ）． …（2分）
①当a=0时，f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数； …（3分）
②当a＜0时，∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵e^ax＞0，∴当x→+∞时，f′（x）＜0，
与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾；…（5分）
③当a＞0时，设g（x）=alnx+ $\text{[math]}$ 则g′（x）= $\text{[math]}$ ．
若0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，g′（x）＜0，x＞ $\text{[math]}$ 时，g′（x）＞0
∴g（x）在x= $\text{[math]}$ 时取得最小值即g（x）的最小值为g（ $\text{[math]}$ ）=-alna+a=a（1-lna）． …（8分）
（i）当0＜a＜e，则g（ $\text{[math]}$ ）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（ii）当a=e，则g（ $\text{[math]}$ ）=0，其余各点处g（x）＞0，从而f′（x）≥0（仅在x= $\text{[math]}$ 时取等号），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（iii）当a＞e，则g（ $\text{[math]}$ ）＜0，从而f′（ $\text{[math]}$ ）＜0，与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾．…（11分）
综上所述，a的取值范围是[0，e]． …（12分）
分析：易求函数f（x）=e^axlnx在定义域为（0，+∞）因此要使函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax× $\text{[math]}$ =e^ax（alnx+ $\text{[math]}$ ）≥0在（0，+∞）上恒成立即可即对a进行讨论再结合单调性保证alnx+ $\text{[math]}$ ≥0在（0，+∞）上恒成立．
点评：本题主要考察了利用导数研究函数的单调性，较难．解题的关键是要紧紧抓住要使函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax× $\text{[math]}$ =e^ax（alnx+ $\text{[math]}$ ）≥0在（0，+∞）上恒成立这一等价条件！