Question

已知函数f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可确定f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，π]上的单调性，从而可得f（x）在[-π，π]上的最大值与最小值，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=（-sinx+cosx）e^-x=

2

cos（x+

π

4

）e^-x．
令f′（x）=0，解得：x=kπ+

π

4

，k∈Z．
因为当x∈（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z）时，f′（x）＞0；当x∈（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间是（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z），单调递减区间是（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，-

3π

4

）上单调递减，在（-

3π

4

，

π

4

）上单调递增，在（

π

4

，π]上单调递减．
f（-π）=0，f（

π

4

）=

2

2

e-

π

4

＞0，f（π）=0，f（-

3π

4

）=-

2

2

e

3π

4

＜0
所以f（x）在[-π，π]上的最大值为

2

2

e-

π

4

，最小值为-

2

2

e

3π

4

．
所以f（x）在[-π，+∞）上，x=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，取得最大值

2

2

e-

π

4

；当x=2kπ-

3

4

π（k∈Z）时，取得最小值-

2

2

e

3π

4

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确确定函数的单调性是关键，属于中档题．