题目内容

已知函数f(x)=e-x(x2+x+1).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在[-1,1]上的最值.
分析:(Ⅰ)令f′(x)<0,在定义域内解出x,即可得到函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得到函数的单调区间,继而得到函数f(x)在[-1,1]上的最值.
解答:解:由于函数f(x)=e-x(x2+x+1),则f′(x)=e-x(-x2+x),
令f′(x)<0,
即-x2+x<0,解得x<0或x>1,
则函数f(x)的单调递减区间为:(-∞,0),(1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)的单调递减区间为:(-∞,0),(1,+∞),
则f(x)的单调递增区间为:(0,1),
又由f(-1)=e,f(1)=
3
e
,f(0)=1
故函数f(x)在[-1,1]上的最小值为1,最大值为e.
点评:熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键.
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