Question

已知函数f（x）=e^-x（cosx+sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}．求证：数列{f（x_n）}为等比数列．

Answer 1

分析：先求导数，然后解出f′（x）=0的所有正数根，最后根据等比数列的定义进行证明即可．

解答：证明：f′（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx，
由f′（x）=0，即-2e^-xsinx=0，
解得x=nπ，n∈Z．从而x_n=nπ（n=1，2，3，…），
f（x_n）=（-1）ⁿe^-πn．
所以

f(xn+1)

f(xn)

=-e^-π．
所以数列{f（x_n）}是公比q=-e^-π的等比数列．

点评：本题考查了导数的运算，三角函数方程的求解，以及等比数列的证明，可以利用定义进行证明，属于中档题．