Question

【题目】已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有 求的取值范围.

注：为自然对数的底数.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.

【解析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.

(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.

(1)当时，，函数的定义域为，且：

，

因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.

(2)构造函数，

注意到：，

注意到时恒成立，满足；

当时，，不合题意，

且，解得：，故.

下面证明刚好是满足题意的实数a的取值范围.

分类讨论：

(a)当时，，

令，则：

，

易知，则函数单调递减，，满足题意.

(b)当时，等价于，

左侧是关于a的开口向下的二次函数,

其判别式，

令，注意到当时,，

于是在上单调递增,而，

于是当时命题成立,

而当时,此时的对称轴为随着递增,

于是对称轴在的右侧,而成立，(不等式等价于).

因此.

综上可得：实数a的取值范围是.