Question

【题目】已知（为自然对数的底数）．

（1）若在处的切线过点，求实数的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1），，，切线方程为，把点代入①，解得；（2）由可得,令，，利用导数，画出的图像，根据的零点对进行分类讨论，由此求得.

试题解析：

（1） ∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又∵，

∴在处的切线方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分

把点代入①，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）由可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

令，，

∵，且，，

∴存在，使得，且当时，，当时，．．．．．．．．．．．．．．．5分

（1）当时，，

此时，对任意②式恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）当时，

∵，

由变形可得，

令，下面研究的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴与同号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

且对成立，

∴函数在上为增函数，

而，

∴时，，∴，

∴函数在上为减函数，

∴，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（3）当时，

∵，

由变形可得，．．．．．．．．．．③

由（2）可知函数，

∴，

综合（1）（2）（3）可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分