Question

【题目】已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）若=0，求函数的单调区间；

（2）若，证明＞0时，＜

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求得的导数，讨论，，，解不等式可得所求单调区间；
（2）分别求得的最大值，的最小值，比较即可得证.

（1）若，则，

（i）当时，，函数在R上单调递减；

（ii）当时，，

①若，当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

②若，当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

综上可知，

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数的单调递减区间为R，无单调递增区间；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）若则，，

要证不等式，即证，

记，则，

故当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以；

又，

故时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，

所以时，

因为，所以，所以，

所以时，.