Question

8．已知正项数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．
（1）证明{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，并求通项a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），可得b_n=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，首项为$\frac{2}{3}$，公差为$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{2n}$．
（2）解：∵b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴$\frac{3}{2n}{b}_{n}$=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），解得b_n=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴数列{b_n}的前n项和=（2+4+…+2n）-$（1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}）$．
=$\frac{n（2+2n）}{2}$-$（1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}）$=n（n+1）-$（1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}）$．
设T_n=$1+\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴数列{b_n}的前n项和=n²+n-4+$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、数列递推关系、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．