Question

设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+) 
(1)证明： 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M。 
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值。
(3)求证： 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。

Answer 1

(1) 证明略(2) 当x=m时， f(2m)=log₃(m+)为最小值。
(3)证明略

先将f(x)变形： f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,
当m∈M时，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，
故f(x)的定义域为R。
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x²－4mx+4m²+m+>0,令Δ＜0,即16m²－4(4m²+m+)＜0,解得m>1,故m∈M。
(2)解析： 设u=x²－4mx+4m²+m+,
∵y=log₃u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小。
而u=(x－2m)²+m+,
显然，当x=m时，u取最小值为m+,
此时f(2m)=log₃(m+)为最小值。
(3)证明： 当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,
当且仅当m=2时等号成立。
∴log₃(m+)≥log₃3=1。