Question

如图，五棱锥P-ABCDE中，PA⊥底面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥CB，∠ABC=45°，AB=PA=2

2

，BC=2AE=4．
（1）求点B到平面PCD的距离；
（2）求二面角P-BC-A的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在一点M，使得DM∥面PBC，若存在，求出DM的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立坐标系，利用向量法能求出点B到平面PCD的距离．
（2）分别求出平面PBC的法向量的面ABC的一个法向量，利用向量法能求出二面角P-BC-A的余弦值，再由三角函数知识能求出其正弦值．
（3）假设存在这样的点M（0，0，z），再由向量法进行计算．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵∠ABC=45°，AB=PA=2

2

，BC=2AE=4，
∴AC=

AB2+BC2-2AB•BC•cos45°

=

8+16-2×2 2 ×4× 2 2

=2

2

，
∴AB⊥AC，
以A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立坐标系如图，
则由题意知：A（0，0，0），P（0，0，2

2

），B（2

2

，0，0），
C（0，2

2

，0），D（-

2

，2

2

，0），
设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，1)，
则

n • CD =(x，y，1)•(- 2 ，0，0)=- 2 x=0 n • PC =(x，y，1)•(0，2 2 ，-2 2 )=2 2 y-2 2 =0

，
∴

n

=(0，1，1)．
又

BC

=(-2

2

，2

2

，0)，
∴点B到平面PCD的距离为d=

| BC • n |

| n |

=2
（2）设平面PBC的法向量为

m1

=(x，y，1)，
∵

PB

=(2

2

，0，-2

2

)，

BC

=(-2

2

，2

2

，0)，
∴

m1 • PB =(x，y，1)•(2 2 ，0，-2 2 )=2 2 x-2 2 =0 m1 • BC =(x，y，1)•(-2 2 ，2 2 ，0)=-2 2 x+2 2 y=0

，
∴

m1

=(1，1，1)，
∵面ABC的一个法向量为

m2

=(0，0，1)．
∴cosθ=

| m1 • m2 |

| m1 |•| m2 |

=

3

3

，
∴sinθ=

6

3

∴二面角P-BC-A的正弦值为

6

3

．
（3）假设存在这样的点M（0，0，z），（0≤z≤2

2

），
则

DM

=(

2

，-2

2

，z)．
由（2）得，面PBC的一个法向量为

m

=(1，1，1)，
当DM∥面PBC时，

DM

•

m

=

2

-2

2

+z=0．
解得z=

2

，故存在点M(0，0，

2

)，
且DM=

2+8+2

=2

3

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查满足条件的点的求法，解题时要注意向量法的合理运用．