Question

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，根据题意可知c，进而根据

AF

•

FB

=1求得a，进而利用a和c求得b，则椭圆的方程可得．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用

MP

•

FQ

=0求得m．

解答：解．（1）如图建系，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则c=1
又∵

AF

•

FB

=1即（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，∴a²=2
故椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1，
于是设直线l为y=x+m，由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0，
又F为△PQM的垂心，则MP⊥FQ，
故

MP

•

FQ

=x1(x2-1)+y2(y1-1)=0又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0由韦达定理得2•

2m2-2

3

-

4m

3

(m-1)+m2-m=0
解得m=-

4

3

或m=1（舍）经检验m=-

4

3

符合条件，
此时直线l的方程为y=x-

4

3

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．