Question

（本题满分12分）

如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，

且,.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）； （2）3x-3y-4=0

【解析】

试题分析：（1）设椭圆方程为,则

又∵即 ，∴  

故椭圆方程为

（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵，故，

于是设直线为 ，由得

    

∵又

得 即

 由韦达定理得

 

解得或（舍） 经检验符合条件

考点：本题考查了椭圆方程求法及直线与椭圆的位置关系

点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后高考命题的一个新的重点、热点