Question

（本小题满分12分）如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，  为椭圆的右焦点,且，.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？

若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)

解析:

（1）设椭圆方程为由题意

又∵即

∴    故椭圆方程为…4分

 （2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵，故   ……………6分

于是设直线为 ，由得  8分

∵ 又

得  即

  由韦达定理得

 

解得或（舍）  经检验符合条件

则直线的方程为:………12分