Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立，
（1）求证：函数y=f（x）是奇函数；
（2）判断函数y=f（x）是R上的增函数还是减函数，并证明你的结论．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令a=b=0，则可得f（0）=0；再令a=x，b=-x，即可证明f（x）是奇函数．
（2）设x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＜0，再利用f（a+b）=f（a）+f（b）及减函数的定义即可证明．

解答： 证明：（1）由f（a+b）=f（a）+f（b），、
令a=b=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
再令a=x，b=-x，
得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数．
（2）函数y=f（x）为减函数，理由如下
设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函数y=f（x）是R上的减函数；

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．