Question

3．在边长为3的正△ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，且满足AE=CF=CP=1（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，连接A₁B、A₁P（如图2），使平面A₁EP⊥平面BPE．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求点C到平面A₁FP的距离．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理证明A₁E⊥EF，再根据平面A₁EP⊥平面BPE即可得出A₁E⊥平面BEP；
（2）根据V${\;}_{C-{A}_{1}PF}$=V${\;}_{{A}_{1}-PCF}$列方程解出点C到平面A₁FP的距离．

解答 （1）证明：∵AE=1，AF=AC-CF=2，∠EAF=60°，
∴EF=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AE²+EF²=AF²，
∴AE⊥EF，即A₁E⊥EF．
∵平面A₁EP⊥平面BPE，平面A₁EP∩平面BPE=EF，A₁E?平面A₁EF，
∴A₁E⊥平面BEP．
（2）解：∵BP=BE=2，PC=FC=1，∠PBE=∠PCF=60°，
∴△BPE，△PCF是等边三角形，
∴PE=2，PF=1，
∴A₁P=$\sqrt{{A}_{1}{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PF²+A₁F²=A₁P²，∴PF⊥A₁F，
∴S${\;}_{△{A}_{1}PF}$=$\frac{1}{2}×PF×{A}_{1}F$=1，
设C到平面A₁FP的距离为h，则V${\;}_{C-{A}_{1}PF}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}PF}•h$=$\frac{1}{3}h$．
又V${\;}_{C-{A}_{1}PF}$=V${\;}_{{A}_{1}-PCF}$=$\frac{1}{3}{S}_{△PCF}•{A}_{1}E$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{12}$=$\frac{1}{3}h$，即h=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．