Question

16．如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的中点，四棱锥D-ABCM的体积为V，求三棱锥E-ADM的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得BM⊥AM，再由平面ADM⊥平面ABCM，结合面面垂直的性质可得BM⊥平面ADM，从而得到AD⊥BM；
（2）直接利用等体积法求得三棱锥E-ADM的体积．

解答 （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，
∴AM=BM，则BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，∵AD?平面ADM，
∴AD⊥BM；
（2）解：当E为DB的中点时，
∵${S}_{△MBC}=\frac{1}{2}{S}_{△MAB}$，
∴${V}_{E-ADM}=\frac{1}{2}{V}_{B-ADM}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-ABM}$=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{V}_{D-ABCM}=\frac{1}{3}{V}_{D-ABCM}$=$\frac{1}{3}V$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．