Question

（本小题满分16分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当函数在区间上的最小值为时，求实数的值；
（3）当时，若函数与的图像有三个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）； (2)  ；（3）  . 

要求函数在点处的切线方程，先求，即确定的点，在求3处的导数，即斜率；
求函数在区间上的最小值为时，一般先求函数在区间上的单调性，在确定在某处取得最小值；
将函数与的图像有三个不同的交点，转化为有三个不同的根，即有三个不同的根  设 与x轴有3个交点。
解：（1）由题知  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
                               ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
                                ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
曲线在点处的切线方程为.┈┈┈┈┈┈1分
(2)由题知                  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
令的或
①   时      即  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
② 当时        
   不符合            ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
③ 当时   当时    
当时     
即  不符合                      ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
综上知：                          ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
（3）由题知有三个不同的根，即有三个不同的根  设  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

令的 或              ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
    当时 ；当时 ；
当时       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
  
 即        ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分