题目内容
在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知
=
．
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．
| a | ||
|
| c |
| sinC |
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得：
=
=
，从而解得tanA=
，由0＜A＜π，即可求得A的值．
（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系即可求出b+c的范围．
| a | ||
|
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
| 3 |
（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系即可求出b+c的范围．
解答：
解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得：
=
=
，
从而sinA=
cosA，tanA=
，
∵0＜A＜π，
∴A=
．
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6．
由余弦定理得：a2=36=b2+c2-2bccos
=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-
（b+c）2=
（b+c）2，
（当且仅当b=c时等号成立）
∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
| a | ||
|
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
从而sinA=
| 3 |
| 3 |
∵0＜A＜π，
∴A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6．
由余弦定理得：a2=36=b2+c2-2bccos
| π |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（当且仅当b=c时等号成立）
∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于基本知识的考查．
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