Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D与BC₁所成的角为

π

3

，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为．（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  1

  2

• C．

  6

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：连接A₁C₁，交B₁D₁于O，通过证明A₁C₁⊥B₁D₁，B₁B⊥A₁C₁得出A₁C₁⊥面BB₁D₁D，垂足为O，从而∠OBC₁为BC₁与平面BB₁D₁D所成角的平面角．其正弦值sin∠OBC₁=

OC1

BC1

为所求．由正方体的结构特征可知B₁C与BC₁所成的角等于A₁D与BC₁所成的角，应有∠BEB₁=60°，∠BEC=180°-60°=120°，在△BEC中根据余弦定理求出BE，再得出BC₁后，代入式子计算即可．

解答：解：由已知，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2
∴四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，连接A₁C₁，交B₁D₁于O
则O为正方形A₁B₁C₁D₁为 的中心，∴A₁C₁⊥B₁D₁于O，
又B₁B⊥面A₁B₁C₁D₁为，得出B₁B⊥A₁C₁为，且B₁D₁于∩B₁B=B₁，
∴A₁C₁⊥面BB₁D₁D，垂足为O，
即BC₁在平面BB₁D₁D上的射影为BO，
∴∠OBC₁为BC₁与平面BB₁D₁D所成角的平面角，
其正弦值sin∠OBC₁=

OC1

BC1

=

2

BC1

①
下面求BC₁：
连接B₁C，与BC₁交于点E，
则易知A₁D∥B₁C，∴B₁C与BC₁所成的角等于A₁D与BC₁所成的角 
由图可知应有∠BEB₁=60°，∴∠BEC=180°-60°=120°，
 在△BEC中，设BE=x，根据余弦定理，BC²=BE²+CE²-2BE×CE×cos120°
即4=x²+x²-2x²cos120°=3x²
∴BE=x=

2

3

，∴BC₁=2BE=

4 3

3

 代入①得sin∠OBC₁=

2

4 3 3

=

6

4

故选C

点评：本题考查异面直线夹角、线面角的定义，度量．考查转化、空间想象能力、计算等能力．求直线和平面所成的角，利用线面垂直，确定直线在平面内的射影，得出线面角的平面角是关键．