Question

已知数列{a_n}的通项a_n=

1

3

n3-

5

4

n2+3+m，若数列中的最小项为1，则m的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：导数的综合应用

分析：令f（x）=

1

3

x3-

5

4

x2+3+m，（x≥1）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．

解答： 解：数列a_n=

1

3

n3-

5

4

n2+3+m，令f（x）=

1

3

x3-

5

4

x2+3+m，（x≥1）．
f′（x）=x2-

5

2

x，
由f′（x）＞0，解得x＞

5

2

，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜

5

2

，此时函数f（x）单调递减．
∴对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．
f（3）-f（2）=9-

45

4

-(

8

3

-5)＞0，
∴f（2）最小，∴

1

3

×8-5+3+m=1，
解得m=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了计算能力，属于基础题．