Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数的解析式为f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（1）求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的最大值．
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M成立，求最小的整数M的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，然后结合已知的解析式、奇函数的性质即可解决问题；
（2）根据函数的特点，可采用配方法结合自变量的取值范围解决问题；
（3）因为是不等式恒成立问题，所以转化为函数的最值问题来解．

解答： 解：（1）因为f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
所以f（0）=1-a=0，所以a=1；
当x∈[0，1]时，则-x∈[-1，0]，所以f（x）=-f（-x）=-(

1

4-x

-

1

2-x

)，
化简得f（x）=2^x-4^x．x∈[0，1]．
（2）由（1）知，x∈[0，1]时，f(x)=2x-4x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，其中2^x∈[1，2]，
所以当2^x=1时，f_max（x）=0；2^x=2时，f_min（x）=-2，
根据对称性可知f（x）在[-1，0]上的最大值为2．
（3）因为f（x）为[-1，1]上的奇函数，且f（0）=0，结合（2）可知，该函数在定义域[-1，1]上的最大值为2，最小值为-2，
|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=4，所以M=4

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性以及函数的最值问题；同时，涉及到不等式恒成立的问题一般转化为函数的最值问题来解．