Question

11．如图，圆柱O-O₁中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O₁的直径，AB∥CD，点 E、F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若DF与底面所成角为$\frac{π}{4}$，求几何体EF-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件证明BF⊥平面ADF，然后证明平面ADF⊥平面CBF．
（Ⅱ）推出$∠AFD=\frac{π}{4}$，求出四棱锥F-ABCD的高为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，底面面积S_ABCD=2，求出体积，然后之后求解几何体EF-ABCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由已知，AF⊥BF，AD⊥BF，且AF∩AD=A，故BF⊥平面ADF，
所以平面ADF⊥平面CBF．…（5分）
（Ⅱ）解：因AD垂直于底面，若DF与底面所成角为$\frac{π}{4}$，则$∠AFD=\frac{π}{4}$，故AF=1，
则四棱锥F-ABCD的高为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又S_ABCD=2，${V_{F-ABCD}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
三棱锥C-BEF的高为1，而△BEF中，BE=BF=1，∠BEF=120°，
所以${S_{BEF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，则${V_{C-BEF}}=\frac{1}{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，
所以几何体EF-ABCD的体积为$\frac{{5\sqrt{3}}}{12}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．